Q5回答

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你好！我是你的数学专家助手。让我们深吸一口气，一步一步地，用最严谨的逻辑和最清晰的符号来解决这个问题。

这个问题考察的是抽象代数中同构 (Isomorphism) 的核心概念。我们需要逐一验证给定的映射是否满足同构的定义。

1. 第一部分：核心概念解释

在开始解题之前，我们先根据提供的文件（特别是 @2.1_二元结构与群_二元运算与二元结构.ZH.md）明确什么是同构。

11. 二元结构 (Binary Structure)

一个二元结构 $(S, *)$ 由一个集合 $S$ 和该集合上定义的二元运算 $*$ 组成。

22. 同态 (Homomorphism)

设 $(S, *)$ 和 $(S', *')$ 是两个二元结构。一个函数 $f: S \rightarrow S'$ 如果满足以下“运算保持”性质，则称为同态：

这也被称为函数方程 (Functional Equation)。它意味着：你是先在原集合里运算再映射，还是先映射到新集合里再运算，结果是一样的。

33. 同构 (Isomorphism)

一个函数 $f: S \rightarrow S'$ 被称为同构，如果它同时满足以下两个条件：

1. 同态性 (Homomorphism Property)：$f(x * y) = f(x) *' f(y)$ 对于所有 $x, y \in S$ 成立。
2. 双射性 (Bijectivity)：$f$ 既是单射 (Injective/One-to-one) 又是满射 (Surjective/Onto)。
   • 单射：$f(x) = f(y) \implies x = y$（不同的元素映射到不同的元素）。
   • 满射：对于 $S'$ 中的任意元素 $y'$，都存在 $x \in S$ 使得 $f(x) = y'$（值域覆盖了整个目标集合）。

如果存在这样的 $f$，我们说结构 $(S, *)$ 和 $(S', *')$ 是同构的 (Isomorphic)，记作 $(S, *) \cong (S', *')$。

2. 第二部分：详细解题步骤

我们将逐一检查选项 (a) 到 (g)。

1(a) $f:(\mathbb{R},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

这里，集合是实数集 $\mathbb{R}$，运算是加法 $+$。

我们要检查 $f$ 是否是同构。

1. 检查同态性：

我们需要验证是否对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，都有 $f(x + y) = f(x) + f(y)$。

• 左边 (LHS) $= f(x + y) = (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
• 右边 (RHS) $= f(x) + f(y) = x^3 + y^3$

显然，通常情况下 $(x + y)^3 \neq x^3 + y^3$。

例如，取 $x=1, y=1$：

• $f(1+1) = f(2) = 2^3 = 8$
• $f(1) + f(1) = 1^3 + 1^3 = 2$
• $8 \neq 2$

结论： 不满足同态性。

答案： 不是同构。

2(b) $f:\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

这里，集合是非零实数集 $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$，运算是乘法 $\cdot$。

1. 检查同态性：

我们需要验证 $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$。

• LHS $= f(xy) = (xy)^3 = x^3 y^3$
• RHS $= f(x) \cdot f(y) = x^3 \cdot y^3$

因为实数乘法满足交换律和结合律，所以等式成立。

同态性满足。

2. 检查双射性：

• 单射性 (Injectivity)：假设 $f(x) = f(y)$，即 $x^3 = y^3$。在实数域中，立方根函数是单调递增的，一一对应的。$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) = 0$。因为 $x^2+xy+y^2$ 在实数域无实根（除非 $x=y=0$，但 $0 \notin \mathbb{R}^*$），所以必然 $x=y$。单射性满足。
• 满射性 (Surjectivity)：对于任意 $y \in \mathbb{R}^*$，是否存在 $x \in \mathbb{R}^*$ 使得 $x^3 = y$？是的，因为任何非零实数都有唯一的实数立方根 $x = \sqrt[3]{y}$，且如果 $y \neq 0$，则 $x \neq 0$。满射性满足。

结论： 既是同态又是双射。

答案： 是同构。

3(c) $f:\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

这里，集合是非零有理数集 $\mathbb{Q}^*$，运算是乘法 $\cdot$。

1. 检查同态性：

同 (b)，$(xy)^3 = x^3 y^3$ 在有理数中成立。同态性满足。

2. 检查双射性：

• 满射性 (Surjectivity)：我们需要检查是否每一个非零有理数都是另一个有理数的立方。

考虑目标集合中的元素 $2 \in \mathbb{Q}^*$。

是否存在 $x \in \mathbb{Q}^*$ 使得 $f(x) = x^3 = 2$？

这等价于问 $\sqrt[3]{2}$ 是否是有理数。

我们知道 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数（这可以通过类似于 $\sqrt{2}$ 是无理数的方法证明）。

因此，不存在 $x \in \mathbb{Q}^*$ 使得 $f(x)=2$。

结论： 不满足满射性。

答案： 不是同构。

4(d) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(z)=z^{3}$ 定义

这里，集合是非零复数集 $\mathbb{C}^*$，运算是乘法 $\cdot$。

1. 检查同态性：

$(zw)^3 = z^3 w^3$ 在复数中成立。同态性满足。

2. 检查双射性：

• 单射性 (Injectivity)：假设 $f(z_1) = f(z_2)$，即 $z_1^3 = z_2^3$。

这意味着 $(z_1/z_2)^3 = 1$。

在复数域中，方程 $\omega^3 = 1$ 有三个解：$1, e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}$。

取 $z_1 = 1$, $z_2 = e^{i2\pi/3}$（这是 $\mathbb{C}^*$ 中的不同元素）。

$f(1) = 1^3 = 1$。

$f(e^{i2\pi/3}) = (e^{i2\pi/3})^3 = e^{i2\pi} = 1$。

因为 $f(1) = f(e^{i2\pi/3})$ 但 $1 \neq e^{i2\pi/3}$，所以 $f$ 不是单射。

结论： 不满足单射性（内核 Kernel 非平凡）。

答案： 不是同构。

5(e) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(z)=1 / z$ 定义

这里，集合是非零复数集 $\mathbb{C}^*$，运算是乘法 $\cdot$。

1. 检查同态性：

验证 $f(z \cdot w) = f(z) \cdot f(w)$。

• LHS $= f(zw) = \frac{1}{zw}$
• RHS $= f(z) \cdot f(w) = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{w} = \frac{1}{zw}$

等式成立。同态性满足。

2. 检查双射性：

• 这是一个自身逆映射：$f(f(z)) = f(1/z) = 1/(1/z) = z$。
• 由于 $f \circ f = \text{Id}$，且定义域和值域相同，这意味着 $f$ 是可逆的，因此必然是双射。
• 单射：$1/z_1 = 1/z_2 \implies z_1 = z_2$。
• 满射：对于任意 $w \in \mathbb{C}^*$，取 $z = 1/w$，则 $f(z) = w$。

结论： 既是同态又是双射。

答案： 是同构。

6(f) $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{Z},+)$ 由 $f(n)=2 n$ 定义

这里，集合是整数集 $\mathbb{Z}$，运算是加法 $+$。

1. 检查同态性：

验证 $f(n + m) = f(n) + f(m)$。

• LHS $= f(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m$
• RHS $= f(n) + f(m) = 2n + 2m$

等式成立。同态性满足。

2. 检查双射性：

• 单射性：$2n = 2m \implies n = m$。满足。
• 满射性 (Surjectivity)：我们需要检查是否每个整数都能写成 $2n$ 的形式。

考虑目标集合中的奇数，例如 $1 \in \mathbb{Z}$。

是否存在 $n \in \mathbb{Z}$ 使得 $f(n) = 2n = 1$？

$n = 1/2$，但 $1/2 \notin \mathbb{Z}$。

所以 $f$ 的像 (Image) 只是偶数集 $2\mathbb{Z}$，不等于整个 $\mathbb{Z}$。

结论： 不满足满射性。

答案： 不是同构。

7(g) $f:(\mathbb{Q},+) \rightarrow(\mathbb{Q},+)$ 由 $f(x)=2 x-1$ 定义

这里，集合是有理数集 $\mathbb{Q}$，运算是加法 $+$。

1. 检查同态性：

验证 $f(x + y) = f(x) + f(y)$。

• LHS $= f(x + y) = 2(x + y) - 1 = 2x + 2y - 1$
• RHS $= f(x) + f(y) = (2x - 1) + (2y - 1) = 2x + 2y - 2$
• 比较 LHS 和 RHS：

$2x + 2y - 1 \stackrel{?}{=} 2x + 2y - 2$

$-1 \neq -2$

等式不成立。

补充说明： 对于加法群 $(\mathbb{Q}, +)$，同构必须把单位元映射到单位元。

$(\mathbb{Q}, +)$ 的单位元是 $0$。

$f(0) = 2(0) - 1 = -1 \neq 0$。

因为 $f(0) \neq 0$，所以它不可能是群同态，更不可能是同构。

结论： 不满足同态性。

答案： 不是同构。

3. 核心概念定义回顾 (Based on Provided Files)

在分析具体选项之前，我们需要根据参考文件（特别是 @2.1_二元结构与群_二元运算与二元结构.ZH.md 和 @2.2_二元结构与群_群.ZH.md）明确判断标准：

1. 同态 (Homomorphism)：

设 $(G, *)$ 和 $(H, \circ)$ 是两个群。函数 $f: G \rightarrow H$ 是同态，当且仅当它保持运算结构，即：

特别地，如果 $f$ 是同态，它必须将 $G$ 的单位元 (Identity) 映射到 $H$ 的单位元：$f(e_G) = e_H$。

1. 同构 (Isomorphism)：

函数 $f: G \rightarrow H$ 是同构，当且仅当：

• 条件 1：$f$ 是同态 (Homomorphism)。
• 条件 2：$f$ 是双射 (Bijection)，即 $f$ 既是单射 (Injection/One-to-one) 也是满射 (Surjection/Onto)。

4. 详细解题步骤

1(a) $f:(\mathbb{R},+) \rightarrow(\mathbb{R},+)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。
• 值域群：实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$。
• 映射规则：$f(x) = x^3$。

• 步骤 1：检查同态性 (Homomorphism)

我们需要验证是否满足 $f(x + y) = f(x) + f(y)$。

• 左边 (LHS)：$f(x + y) = (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$。
• 右边 (RHS)：$f(x) + f(y) = x^3 + y^3$。
• 判断：显然，除非 $x=0$ 或 $y=0$，否则通常 $3x^2y + 3xy^2 \neq 0$。
• 反例：取 $x=1, y=1$。

• 结论：$f$ 不保持运算结构，不是同态。

• 最终结论：(a) 不是同构。

2(b) $f:\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：非零实数乘法群 $(\mathbb{R}^*, \cdot)$，其中 $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$。
• 值域群：同上。
• 映射规则：$f(x) = x^3$。

• 步骤 1：检查同态性

我们需要验证 $f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)$。

• LHS：$f(xy) = (xy)^3$。
• RHS：$f(x) \cdot f(y) = x^3 \cdot y^3$。
• 推导：根据实数乘法的交换律和结合律，$(xy)^3 = x^3y^3$ 恒成立。
• 结论：满足同态性。

• 步骤 2：检查双射性 (Bijectivity)
• 单射性 (Injectivity)：

假设 $f(x) = f(y)$，即 $x^3 = y^3$。

对于实数 $x, y$，若 $x^2 + xy + y^2 = 0$，则 $(x + y/2)^2 + 3y^2/4 = 0$，仅当 $x=y=0$ 时成立。

但在 $\mathbb{R}^*$ 中 $x, y \neq 0$，因此必须有 $x - y = 0 \implies x = y$。

或者更直观地，实数函数 $y=x^3$ 是严格单调递增的，因此是一对一的。

结论：是单射。

• 满射性 (Surjectivity)：

对于任意 $y \in \mathbb{R}^*$，是否存在 $x \in \mathbb{R}^*$ 使得 $f(x) = y$？

即方程 $x^3 = y$ 是否有实数解？

有的，任何实数都有唯一的实立方根 $x = \sqrt[3]{y}$。

若 $y \neq 0$，则 $x \neq 0$，所以 $x \in \mathbb{R}^*$。

结论：是满射。

• 最终结论：$f$ 既是同态又是双射。

(b) 是同构。

3(c) $f:\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(x)=x^{3}$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：非零有理数乘法群 $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$。
• 值域群：同上。
• 映射规则：$f(x) = x^3$。

• 步骤 1：检查同态性

同 (b)，$(xy)^3 = x^3y^3$ 在有理数中成立。满足同态性。

• 步骤 2：检查双射性
• 满射性 (Surjectivity)：

我们需要判断：是否所有非零有理数 $q \in \mathbb{Q}^*$ 都是另一个有理数的立方？

反例：取 $y = 2 \in \mathbb{Q}^*$。

是否存在 $x \in \mathbb{Q}^*$ 使得 $x^3 = 2$？

这意味着 $x = \sqrt[3]{2}$。

我们知道 $\sqrt[3]{2}$ 是无理数（不是有理数）。

因此，对于 $y=2$，找不到原像 $x \in \mathbb{Q}^*$。

• 结论：不是满射。

• 最终结论：(c) 不是同构。

4(d) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(z)=z^{3}$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：非零复数乘法群 $(\mathbb{C}^*, \cdot)$。
• 值域群：同上。
• 映射规则：$f(z) = z^3$。

• 步骤 1：检查同态性

$(z_1 z_2)^3 = z_1^3 z_2^3$ 在复数中成立。满足同态性。

• 步骤 2：检查双射性
• 单射性 (Injectivity)：

同构要求核 (Kernel) $\text{Ker}(f) = \{z \in \mathbb{C}^* \mid f(z) = 1\}$ 仅包含单位元 $1$。

解方程 $f(z) = 1 \implies z^3 = 1$。

在复数域中，这个方程有三个根（三次单位根）：

因为 $f(\omega) = \omega^3 = 1 = f(1)$，但 $\omega \neq 1$。

所以，$f$ 把不同的元素映射到了同一个元素。

• 结论：不是单射。

• 最终结论：(d) 不是同构。

5(e) $f:\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow\left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right)$ 由 $f(z)=1 / z$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：非零复数乘法群 $(\mathbb{C}^*, \cdot)$。
• 映射规则：$f(z) = z^{-1}$。

• 步骤 1：检查同态性

验证 $f(z \cdot w) = f(z) \cdot f(w)$。

• LHS：$f(zw) = \frac{1}{zw}$。
• RHS：$f(z) \cdot f(w) = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{w} = \frac{1}{zw}$。
• 结论：等式成立，满足同态性。

• 步骤 2：检查双射性
• 观察 $f(f(z)) = f(1/z) = 1/(1/z) = z$。
• 这意味着 $f$ 是自身的逆函数 ($f \circ f = \text{Id}$)。
• 拥有逆函数的函数必然是双射。
• 单射：若 $1/z_1 = 1/z_2$，取倒数得 $z_1 = z_2$。
• 满射：对于任意 $w \in \mathbb{C}^*$，取 $z = 1/w$，则 $f(z) = w$。

• 最终结论：$f$ 既是同态又是双射。

(e) 是同构。

6(f) $f:(\mathbb{Z},+) \rightarrow(\mathbb{Z},+)$ 由 $f(n)=2 n$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：整数加法群 $(\mathbb{Z}, +)$。
• 映射规则：$f(n) = 2n$。

• 步骤 1：检查同态性

验证 $f(n + m) = f(n) + f(m)$。

• LHS：$f(n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m$。
• RHS：$f(n) + f(m) = 2n + 2m$。
• 结论：满足同态性。

• 步骤 2：检查双射性
• 单射性：$2n = 2m \implies n = m$（整数环无零因子）。满足。
• 满射性 (Surjectivity)：

像集 (Image) $\text{Im}(f) = \{2n \mid n \in \mathbb{Z}\} = 2\mathbb{Z}$（偶数集）。

目标集合是 $\mathbb{Z}$（所有整数）。

显然 $2\mathbb{Z} \neq \mathbb{Z}$。例如，奇数 $1 \in \mathbb{Z}$，但不存在整数 $n$ 使得 $2n = 1$。

• 结论：不是满射。

• 最终结论：(f) 不是同构。

7(g) $f:(\mathbb{Q},+) \rightarrow(\mathbb{Q},+)$ 由 $f(x)=2 x-1$ 定义

• 分析对象：
• 定义域群：有理数加法群 $(\mathbb{Q}, +)$。
• 映射规则：$f(x) = 2x - 1$。

• 步骤 1：检查同态性

核心判据：群同态必须将定义域的单位元映射到值域的单位元。

• $(\mathbb{Q}, +)$ 的单位元是 $0$。
• 计算 $f(0)$：

• 但是目标群的单位元是 $0$。
• 因为 $f(0) \neq 0$，所以 $f$ 甚至不是同态。

• 或者直接验证定义：

• 结论：不是同态。

• 最终结论：(g) 不是同构。